Question

19．若关于x的方程x³-3x+m=0在$[{0，\frac{3}{2}}]$上有根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． [0，2]
• C． [-2，0]
• D． $[{\frac{9}{8}，2}]$

Answer 1

分析 分离参数m=-x³+3x，记f（x）=-x³+3x，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，要使原方程有解，则m∈[f（x）_min，f（x）_max]．

解答 解：分离参数m得，m=-x³+3x，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
记f（x）=-x³+3x，x∈[0，$\frac{3}{2}$]，
要使原方程有解，则m∈[f（x）_min，f（x）_max]，
令f'（x）=-3x²+3=0，解得x=±1，分析可知，
函数f（x）在（-∞，-1）单调递减，（-1，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
所以，当x∈[0，$\frac{3}{2}$]时，f（x）先增后减，在x=1取得最大值，即：
f（x）_max=f（1）=2，f（x）_min=min{f（0），f（$\frac{3}{2}$）}=0，
因此，m∈[$\frac{3}{2}$，2]，
故选：B．

点评 本题主要考查了应用导数研究函数的单调性，单调区间和最值，以及函数零点与方程的判断，属于中档题．