Question

13．已知A={x|y=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$}，B={y|y=-x²+2x+8}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
（1）求A，（∁_RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．
（3）若A∪C=C，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可；
（2）根据A与C的并集为R，求出a的范围即可；
（3）根据A与C的并集为C，得到A为C的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）根据题意得：A={x|y=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$}={x|3≤x＜7}，B={y|y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9}={y|y≤9}，
∴∁_RA={x|x＜3或x≥7}，
则（∁_RA）∩B={x|x＜3或7≤x≤9}；
（2）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，且A∪C=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1＜7}\end{array}\right.$，
解得：3≤a＜6；
（3）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，且A∪C=C，
∴A⊆C，即a≥7或a+1＜3，
解得：a＜2或a≥7．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，集合的包含关系判断及应用，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．