Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线：y=x+2上，且AB∥。
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为AB∥，且AB边通过点（0，0），
所以AB所在直线的方程为y=x，
设A，B两点坐标分别为，
由得，
所以，
又因为AB边上的高h等于原点到直线的距离，于是，
所以。
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由得，
因为A，B在椭圆上，所以，
设A，B两点的坐标分别为，
则，，
所以，
又因为BC的长等于点（0，m）到直线的距离，即，
所以，
所以当m=-1时，AC边最长，（这时），
此时AB所在直线的方程为y=x-1。