题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ．
（1）求过点 $数学公式$ 且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．

解：（1）设过点 $\text{[math]}$ 且被点P平分的弦与椭圆交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）点，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵A，B在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ ① $\text{[math]}$ ②
②-①得， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
即，弦AB的斜率为- $\text{[math]}$
∴方程为y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）
即 $\text{[math]}$
（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），
则根据中点弦的斜率公式，有- $\text{[math]}$ =2
$\text{[math]}$
（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程，消y，得（ $\text{[math]}$ +k²）x²+2（1-2k）kx+4k²-4k=0
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，
设弦BC中点坐标为（x，y），则x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =-2k
又∵k= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，整理得x²-2x+2y²-2y=0
当过点A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点
∴所求弦BC中点的轨迹方程为x²-2x+2y²-2y=0．
分析：（1）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式方程即可．
（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于2，化简，即可得斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（3）设出直线BC方程，用参数k表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中点的轨迹方程．
点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．