Question

（2013•济南一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁和F₂，由4个点M（-a，b）、N（a，b）、F₂和F₁组成了一个高为

3

，面积为3

3

的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₁的直线和椭圆交于两点A、B，求△F₂AB面积的最大值．

Answer 1

分析：解：（1）由题意知b=

3

，

1

2

(2a+2c)b=3

3

，即a+c=3①，又a²=3+c²②，联立①②解得a，c，；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点F₁的直线方程为x=ky-1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F₂AB的面积S=

1

2

×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；

解答：解：（1）由题意知b=

3

，

1

2

(2a+2c)b=3

3

，所以a+c=3①，
又a²=b²+c²，即a²=3+c²②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过点F₁的直线方程为x=ky-1，
由

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

得（3k²+4）y²-6ky-9=0，△＞0成立，
且y1+y2=

6k

3k2+4

，y1y2=

-9

3k2+4

，
△F₂AB的面积S=

1

2

×|F1F2|(|y1|+|y2|)=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

36k2 (3k2+4)2 + 36 3k2+4

=12

k2+1 (3k2+4)2

=

12

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

，
又k²≥0，所以9(k2+1)+

1

k2+1

+6递增，
所以9(k2+1)+

1

k2+1

+6≥9+1+6=16，
所以

12

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

≤

12

16

=3，当且仅当k=0时取得等号，
所以△F₂AB面积的最大值为3．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（2）问的关键是合理表示三角形面积并对表达式恰当变形．