Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则

1+sin2x

cos2x-sin2x

=

11

15

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx与cosx的关系，同时求出sin²x的值，化简要求解的分式，最后把sin²x的值代入即可．

解答：解：因为函数f（x）=sinx+cosx，所以f^′（x）=cosx-sinx，
由f′（x）=2f（x），得：cosx-sinx=2sinx+2cosx，即cosx=-3sinx，
所以

1+sin2x

cos2x-sin2x

=

1+sin2x

1-sin2x-2sinx•cosx

=

1+sin2x

1-sin2x-2sinx(-3sinx)

=

1+sin2x

1+5sin2x

①．
由cosx=-3sinx，得：cos²x=9sin²x，代入sin²x+cos²x=1，得：sin2x=

1

10

②．
把②代入①得：

1+sin2x

1+5sin2x

=

11

15

．
所以，则

1+sin2x

cos2x-sin2x

=

11

15

．
故答案为

11

15

．

点评：本题考查了导数的运算，考查了同角三角函数的基本关系式，考查了学生的运算能力，解答的关键是化为同角同名的三角函数求解，此题是基础题．