Question

已知函数
（1）判定并证明函数的奇偶性；
（2）试证明在定义域内恒成立；
（3）当时，恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

（1）偶函数，（2）详见解析，（3）.

试题分析：（1）判定函数的奇偶性，首先判定定义域是否关于原点对称，定义域为：关于原点对称，其次研究与的相等或相反的关系：所以为偶函数，（2）由于函数为偶函数，所以只需证明时，当时，，，恒成立，当时，所以，由（1）可知：，综上所述，在定义域内恒成立（3）恒成立问题一般利用变量分离法转化为最值问题. 恒成立对恒成立，∴ ，∴ ，令可证在[1,3]上为减函数  ∴对恒成立　∴ ，所以m的取值范围是.
试题解析：解：（1）为偶函数，证明如下：
定义域为：关于原点对称，
对于任意有：        2分

成立
所以为偶函数         5分
（2）因为定义域为：，
当时，
，，恒成立，      7分
当时，所以，由（1）可知：     9分
综上所述，在定义域内恒成立      10分
（3）恒成立对恒成立，
∴ ，∴ ，令
证明在[1,3]上为减函数（略）（不证明单调性扣2分）
∴对恒成立　        12分
∴                           
所以m的取值范围是                 14分