Question

20．若$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$，则${（{\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}}）^6}$的展开式中的常数项（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $-\frac{5}{2}$
• C． 20
• D． -15

Answer 1

分析 先根据定积分的几何意义求出a的值，再再由二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求得．

解答 解：$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，
故$a=\int\begin{array}{l}1\\-1\end{array}\sqrt{1-{x^2}}dx$=$\frac{π}{2}$，
则${（{\frac{a}{π}x-\frac{1}{x}}）^6}$=（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）⁶，
其通项公式为C₆^k（$\frac{x}{2}$）^6-k•（-$\frac{1}{x}$）^k=C₆^k（$\frac{1}{2}$）^6-k•（-1）^kx^6-2k，
令6-2k=0，即k=3，
故常数项为C₆³（$\frac{1}{2}$）^6-3•（-1）³=-$\frac{5}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查定积分的运算，考查二项式定理的运用求特定项，属于中档题．