Question

18．某物流公司购买了一块长AM=60m，宽AN=30m的矩形地块AMPN，规划建设占地如图则矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？并求最大库容．（墙体及楼板所占空间忽略不计）

Answer 1

分析 通过设AB的长度为x米，利用相似三角形可知AD=30-$\frac{1}{2}$x，进而对仓库的库容V（x）=-$\frac{1}{2}$x³+30x²（0＜x＜60）求导可知当x=40时V（x）有极大值也是最大值，代入计算即得结论．

解答 解：设AB的长度为x米，
∵$\frac{DC}{AM}$=$\frac{ND}{AN}$，且AM=60、AN=30，
∴ND=$\frac{AB}{AM}$•AN=$\frac{1}{2}$x，AD=AN-ND=30-$\frac{1}{2}$x，
仓库的库容V（x）=（30-$\frac{1}{2}$x）•x•x=-$\frac{1}{2}$x³+30x²（0＜x＜60），
令V′（x）=-$\frac{3}{2}$x²+60x=0，解得：x=40或x=0（舍），
∵当0＜x≤40时V′（x）＞0、当40＜x＜60时V′（x）＜0，
∴当x=40时V（x）有极大值也是最大值，且最大值为V（40）=16000m³，
即AB的长度为40米时仓库的库容最大，最大库容为16000立方米．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查数形结合能力，利用导数判断函数的单调性是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．