Question

15．如图，PA是圆O的切线，切点为A，过PA的中点M作割线交圆O于点B，C，连接PC交圆于点E，连接PB．
（1）求证：△PMB∽△CMP；
（2）若PM=PE=2，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由PA为圆O的切线，MC为割线，得MA²=MB•MC，由M为PA的中点，得PM²=MB•MC，由此能推导出△PMB～△PMC；
（2）利用PA²=PE•PC，即可求CE的长．

解答 （1）证明：∵PA为圆O的切线，MC为割线，
∴MA²=MB•MC，
又∵M为PA的中点，∴PM²=MB•MC，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，
又∵∠PMB=∠PMC，
∴△PMB～△PMC，
（2）解：∵PA为圆O的切线，PC为割线，
∴PA²=PE•PC，
∵M为PA的中点，PM=PE=2，
∴4²=2•（2+CE），
∴CE=6．

点评 本题考查三角形相似的证明，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，注意切割线定理的合理运用．