Question

7．已知函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）•cos²x，
（Ⅰ）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{3}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）将切化弦及降次公式和两角和的正弦公式化简，求出f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{3}{2}$求出A，再利用余弦定理解出AB，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA即可．

解答 解：（I）f（x）=（1+$\sqrt{3}$$\frac{sinx}{cosx}$）cos²x=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），
∴$-\frac{1}{2}$＜sin（2x$+\frac{π}{6}$）≤1，
∴0＜sin（2x$+\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
∴f（x）的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$]．
（II）∵f（A）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AC•AB•cosA，
即（2$\sqrt{3}$）²=AB²+4-2AB，
解得AB=4，或AB=-2（舍）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}•AB•AC•sinA$=$\frac{1}{2}×4×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数求值及解三角形，解题关键是将f（x）进行化简．