Question

(2011·高考课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；

(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．

Answer 1

解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.

所以BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD.

所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.

(2)

如图，作DE⊥PB，垂足为E.

已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.

由(1)知BD⊥AD，

因为BC∥AD，

所以BC⊥BD.

所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE.

则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D－PBC的高．

由PD＝AD＝1知BD＝，PB＝2.

由DE·PB＝PD·BD得DE＝，

所以棱锥D－PBC的高为.