Question

如图，在四棱锥中，，，，，点为棱的中点．

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见试题分析；（2）直线与平面所成角的正弦值为；（3）．

试题分析：（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明。也可以利用综合法：要证，由于是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点为棱的中点，可以先取中点，连结，从而可证得。由线面垂直的判定定理易证平面，从而，最后证得；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值．综合法：在（1）的基础上，可先证明为直线与平面所成的角，在直角三角形中，利用锐角三角函数即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值．
试题解析：（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，．由为棱的中点，得．

（1）向量，，故． ∴．
（2）向量，．设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量．于是有，∴直线与平面所成角的正弦值为．
（3）向量，，，．由点在棱上，设，，故，由，得，因此，，解得，即．设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则．易知，二面角是锐角，∴其余弦值为．
（方法二）（1）如图，取中点，连结，．由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，∴．

∵，故，而，从而，∵平面，于是，又，∴．
（2）连结，由（1）有，得，而，故．又∵，为的中点，故，可得，∴，故．∴直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角．依题意，有，而为中点，可得，进而．故在直角三角形中，，因此，∴直线与平面所成角的正弦值为．

（3）如图，在中，过点作交于点．∵，故，从而．又，得，因此．在底面内，
可得，从而．在平面内，作交于点，于是．由于，故，∴四点共面．由， ，得，故，∴为二面角的平面角．在中，，，，由余弦定理可得，．∴二面角的斜率值为．