Question

设函数f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）首先通过导数的几何意义求切线的斜率，然后利用点斜式求方程；
（2）求出函数的导数，讨论f'（x）=0的两根为1，

1

a-1

两根的大小，以及与2的大小比较．

解答： 解：（Ⅰ）曲线y=f（x）过点P（1，1），则a=1，f(x)=x-lnx， f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．∵f'（1）=0，∴曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=1．---------------（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

-------------（5分）
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，得x＞1，
∴x∈[1，2]时f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
当1-a＞0即a＜1时，f'（x）=0的两根为1，

1

a-1

，且1＞

1

a-1

，∴x∈[1，2]时f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
当1-a＜0即a＞1时，f'（x）=0的两根为1，

1

a-1

，
①当 1≥

1

a-1

即a≥2时，x∈[1，2]时f'（x）≤0，f（x）单调递减，f(x)max=f(1)=

a+1

2

；
②当1＜

1

a-1

即1＜a＜2时，x∈(1，

1

a-1

)时f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈(

1

a-1

，+∞)时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
若

1

a-1

≥2即1＜a≤

3

2

时，x∈[1，2]时f（x）单调递增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
若

1

a-1

＜2，即

3

2

＜a＜2时，f(x)max=f(

1

a-1

)=

2a-1

2(a-1)

+ln(a-1)；
综上，f(x)max=

2-ln2，a≤ 3 2 2a-1 2(a-1) +ln(a-1)， 3 2 ＜a＜2 a+1 2 ，a≥2

．---------------------------（12分）

点评：本题考查了导数的几何意义的运用以及通过求导判断函数的最值，考查了讨论的思想，属于难题．