Question

在△ABC中，试证：.

Answer 1

思路分析：可构造△ABC的边和角的序列，应用排序不等式证明.

证明：不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C.由排序不等式，得

aA+bB+cC=aA+bB+cC,

aA+bB+cC≥bA+cB+aC,

aA+bB+cC≥cA+aB+cC.

相加得：

3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c),

即.①

又由0＜b+c-a,0＜a+b-c,0＜a+c-b,有

0＜A(b+c-a)+B(a+c-b)+C(a+b-c)

=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)

=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)

=π(a+b+c)-2(aA+bB+cC).

得＜.②

综合①②得原不等式.