Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A₁，A₂，上下顶点为B₁，B₂，左右焦点为F₁，F₂，若△F₁B₁F₂为等腰直角三角形
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△A₁B₁A₂的面积为6

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用△F₁B₁F₂为等腰直角三角形，可得b=c，由此可求椭圆的离心率；
（2）根据△A₁B₁A₂的面积为6

2

，结合a=

2

c=

2

b，可求椭圆的方程．

解答：解：（1）∵△F₁B₁F₂为等腰直角三角形，∴b=c
∴a²-c²=c²
∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

；
（2）∵△A₁B₁A₂的面积为6

2

，
∴

1

2

×2a×b=6

2

∴ab=6

2

，
∵a=

2

c=

2

b
∴b=

6

，a=2

3

∴椭圆的方程为

x2

12

+

y2

6

=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．