Question

如图，四棱锥P-ABCD是正方形，边长为2，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，且该四棱锥的侧棱长都是3．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
（3）求直线BE与平面PAC所成的角的余弦值；
（4）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结OE，由已知得OE∥PA，由此能证明PA∥平面BDE．
（2）由已知得AC⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．
（3）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面PAC所成的角的余弦值．
（4）求出平面BDE的法向量，由此利用向量法能求出点A到平面BDE的距离．

解答： （1）证明：连结OE，∵ABCD是正方形，
∴O是AC中点，又E是PC中点，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，AP?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
（3）解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（0，

2

，0），P（0，0，1），C（-

2

，0，0），
E（-

2

2

，0，

1

2

），

BE

=（-

2

2

，-

2

，

1

2

），
设直线BE与平面PAC所成的角为θ，
∵平面PAC的法向量

n

=（0，1，0），
∴sinθ=|cos＜

BE

，

n

＞|=|

- 2

11 2

|=

2 22

11

．
∴直线BE与平面PAC所成的角的余弦值为

2 22

11

．
（4）解：D（0，-

2

，0），

BD

=（0，-2

2

，0），
设平面BDE的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • BE =- 2 2 x- 2 y+ 1 2 z=0 m • BD =-2 1 3 y=0

，取x=

2

，得

m

=（

2

，0，2），
A（

2

，0，0），

BA

=（

2

，-

2

，0），
∴点A到平面BDE的距离d=

| BA • m |

| m |

=

|2|

6

=

6

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．