Question

【题目】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）过动点且平行于的直线交曲线于两点，若，求动点到直线的最近距离．

Answer 1

【答案】（1）直线：；曲线：；（2）．

【解析】

（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角差的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程；

（2）设出过且平行于的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值．

（1）直线的极坐标方程为，即为，

即，可得，即；

曲线的极坐标方程为，即为，

可得；

（2）设过点且平行于的直线的参数方程设为（为参数），

代入抛物线方程，可得，

设对应的参数分别为，可得，

又，即有，

由，可得，即，

到直线的距离：

，

当，时，动点到直线的最近距离为．