Question

【题目】已知函数在处取到极值为．

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）．

【解析】

（1）求出函数的导数，结合题意得到关于a，b的方程，求出a，b的值，求出函数的单调区间即可；

（2）问题等价于在上恒成立，令，则只需即可，根据函数的单调性判断求解即可．

解：（1）由已知定义域为，

，

由，又，得，

，所以，

所以，又．

由得：x＞2；由得：x＜0或0＜x＜2．

故f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是.

（2）问题等价于在x∈上恒成立，

令，

则只需即可．

，

令，

则．

所以在上单调递增，

又，，

所以有唯一的零点，

在上单调递减，在上单调递增．

因为，两边同时取自然对数，则有，

即．

构造函数，则，

所以函数在上单调递增，

又，所以，即．

所以，即，

于是实数k的取值范围是．