Question

7．设函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（ωx+$\frac{π}{4}$）+2cos²ωx（ω＞0）在区间[α，β]上既有最大值也有最小值，且β-α的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3+$\sqrt{3}$，c=1，试求△ABC的内切圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．
（2）由f（C）=3+$\sqrt{3}$求得C的值，根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得ab的值，再利用余弦定理求得a、b的值，再利用面积法求得△ABC的内切圆的半径．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（ωx+$\frac{π}{4}$）+2cos²ωx=$\sqrt{3}$（1-cos（2ωx+$\frac{π}{2}$）]+cos2ωx+1
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+$\sqrt{3}$+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$+1．
由于函数f（x）在区间[α，β]上既有最大值也有最小值，且β-α的最小值为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期为$\frac{2π}{2ω}$=2×$\frac{π}{2}$，∴ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$+1．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）由f（C）=3+$\sqrt{3}$，可得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，又C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{6}$．
再根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴ab=2$\sqrt{3}$．
再根据c=1，利用余弦定理可得 1=a²+b²-2ab•cosC，∴a²+b²=7，
∴a=2、b=$\sqrt{3}$，或 a=$\sqrt{3}$、b=2，
故△ABC为直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则由△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1+2+\sqrt{3}}{2}$r，
求得r=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，体现了转化的数学思想，属于中档题．