题目内容
17．已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2）（1）设bn=an+1-an，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）由an+1=3an-2an-1（n≥2），得an+1-an=2（an-an-1）（n≥2），结合bn=an+1-an可证数列{bn}是等比数列；
（2）由（1）中等比数列的通项公式可得${b}_{n}={2}^{n}$，即${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，再由累加法求得数列{an}的通项公式．
解答 （1）证明：由an+1=3an-2an-1（n≥2），得an+1-an=2（an-an-1）（n≥2），
∵bn=an+1-an，∴bn=2bn-1（n≥2），
又a1=2，a2=4，∴b1=a2-a1=4-2=2，
则$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=2（n≥2）$，
数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）∵数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${b}_{n}={2}^{n}$，即${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+2=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+2$=2n．
点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，属中档题．
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第1卷单元月考期中期末系列答案
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