Question

【题目】如图，设椭圆中心在原点，焦点在轴上，为椭圆长轴的两个端点，为椭圆的右焦点.已知椭圆的离心率为，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的一个动点，直线，分别与直线相交于点，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）利用离心率、和椭圆的关系可构造方程组求得的值，进而得到椭圆方程；

（2）设，代入椭圆方程可化简整理得到，由此可假设两直线方程，求得坐标，进而得到，利用基本不等式可求得最小值.

（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为.

，则，即，，则.

，，即，.

椭圆的标准方程是.

（2）由题意得：点，点，

设点，则，即.

，即，.

设直线的方程为，则直线的方程为.

分别联立得：点，点.

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.