Question

17．已知集合A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）+a²-1=0}
（1）若A∪B=A∩B，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为A∪B=A∩B，故A=B，A={-4，0}，所以-4，0∈B，由韦达定理可得答案；
（2）因为A∪B=A，故B⊆A，A={-4，0}，所以B=∅，{-4}，{0}，或{-4，0}，求出每种情况下a的取值，再取并集即可

解答 解：（1）A={-4，0}，
∵A∪B=A∩B，
∴A=B，
∴-2（a+1）=-4，a²-1=0，
解得a=1；
（2）∵A∪B=A，
∴B⊆A
∴B=∅，{-4}，{0}，或{-4，0}；
若B=∅，则：△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0，解得a＜-1；
若B={-4），则根据韦达定理得：-2（a+1）=-8，a²-1=16，方程组无解，∴这种情况不存在；
若B={0}，则由韦达定理得：-2（a+1）=0，a²-1=0，解得a=-1；
若B={-4，0}，则（1）得：解得a=1；
综上得a的取值为{a|a≤-1，或a=1}．

点评 本题考查子集的概念，韦达定理，一元二次方程的实数根和判别式△的关系，注意对于第二问，不要漏了B=∅的情况．