Question

已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

Answer 1

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的单调递增区间是，

    由得，故的单调递减区间是．

    （Ⅱ）由可知是偶函数．

    于是对任意成立等价于对任意成立．

    由得．

    ①当时，．

    此时在上单调递增．

    故，符合题意．

    ②当时，．

    当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

 

由此得，

故．