Question

设F₁、F₂分别是椭圆  +y²=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．
（1）求的取值范围；
（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可求F₁，F₂的坐标，设P（x，y），则由向量的数量积的坐标表示可求=结合椭圆的性质可知，-2≤x≤2，利用二次函数的性质可求•
（2）由题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，由△＞0可求k的范围，结合方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，然后由0°＜∠MON＜90°可知＞0，代入可求k的范围
解答：解：（1）由椭圆 +y²=1易知a=2，b=1，
∴c==，所以，
设P（x，y），则==x²+y²-3
==
由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴
故-2≤≤1（6分）
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则消去y，整理得：
由△=16k²-12（）＞0得：或…①（9分）
又∵，
又0°＜∠MON＜90°
∴cos∠MON＞0
∴＞0
∴＞0（11分）
∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4==
∴＞0，即k²＜4
∴-2＜k＜2…②（13分）
故由①②得或（15分）
点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用及向量的数量积的坐标表示，属于综合试题