Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），则

PF1

• 

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3，根据x的取值范围能够得到

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5），再把直线y=k（x-5）和椭圆

x2

5

+

y2

4

=1联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由．

解答：解：（Ⅰ）由题意知a=

5

，b=2，c=1，∴F1=(-1，0)，F2(1，0)，
设P（x，y），则

PF1

• 

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3，
∵x∈[-

5

，

5

]，
∴当 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值3；
当x=±

5

，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值4．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5）
由方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=k(x-5)

，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
依题意△=20(16-80k2) ＞0，∴-

5

5

＜ k＜

5

5

．
当-

5

5

＜k＜

5

5

时，设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为R（x₀，y₀），
则x1+x2=

50k2

5k2+4

，x0=

25k2

5k2+4

，∴y0=k(x0-5) =k(

25k2

5k2+4

-5) =

-20k

5k2+4

，
又|F₂C|=|F₂D|?F₂R⊥l?k•kF2R=-1，∴k•kF1R=k•

0-(- 20k 5k2+4 )

1- 25k2 5k2+4

=

20k2

4-20k2

=-1，
∴20k²=20k²-4，而20k²=20k²-4不成立，所以不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D|
综上所述，不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D|．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用，难度较大，解题时要仔细审题，认真解答．