Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

9

+y2=1的左、右焦点．
（I）若M是该椭圆上的一个动点，求

mF1

•

MF2

的最大值和最小值；
（II）设过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由根据题意建立

MF1

•

MF2

关于x的函数，再求最值；
（II）由∠AOB为钝角，则有

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，可整理为

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0再求得k²的范围．

解答：解：（I）由已知a=3，b=1，c=2

2

，则F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，设M(x，y)（2分）

MF1

•

MF2

=(-2

2

-x)(2

2

-x)+y2=

8

9

x2-7?x∈[-3，3]（5分）
所以当x=0时，

MF1

•

MF2

有最小值为-7；
当x=±3时，

MF1

•

MF2

有最大值为1．（7分）
（II）设点A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）直线AB方程：y=kx+2

y=kx+2 x2+9y2=9

?(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-

36k

1+9k2

，?x1x2=

27

1+9k2

?y1y2=

-9k2+4

1+9k2

（9分）
因为∠AOB为钝角，
所以

OA

•

OB

＜0，即x1x2+y1y2＜0?

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0（12分）
解得k2＞

31

9

?k＞

31

3

或

31

3

，此时满足方程※有两个不等的实根（14分）
故直线l的斜率k的取值范围k＞

31

3

或k＜-

31

3

点评：本题主要考查椭圆方程及其性质的应用及直线与圆锥曲线的位置关系在构造平面图形解决有关问题中的应用．