Question

已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）椭圆的方程是；（2）线段为直径的圆过轴上的定点．

试题分析：（1）求椭圆的方程，已知椭圆经过点，离心率为，故可用待定系数法，利用离心率可得，利用过点，可得，再由，即可解出，从而得椭圆的方程；（2）这是探索性命题，可假设以线段为直径的圆过轴上的定点，则，故需表示出的坐标，因为点是椭圆的右顶点，所以点，设，分别写出直线与的方程，得的坐标，由，得，因此由得，则式方程的根，利用根与系数关系得，，，代入即可．
试题解析：（1）由题意得，解得，．
所以椭圆的方程是．                         4分
（2）以线段为直径的圆过轴上的定点.
由得．
设，则有，．
又因为点是椭圆的右顶点，所以点．
由题意可知直线的方程为，故点．
直线的方程为，故点．
若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．
又因为，，
所以恒成立．
又因为，
，
所以．解得．
故以线段为直径的圆过轴上的定点．         14分