Question

已知椭圆的短半轴长为，动点在直线（为半焦距）上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
（3）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，
求证：线段的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1），（2），(3) ．

试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法.由题意得及，因此可解得，.（2）圆的弦长问题，通常化为直角三角形，即半径、半弦长、圆心到直线距离构成一个直角三角形. 圆心为,圆心到直线的距离，因此，，所求圆的方程为． (3)涉及定值问题，一般通过计算，以算代证.本题有两种算法，一是利用射影定理，只需求出点在上射影的坐标，即由两直线方程得，因此.二是利用向量坐标表示，即设，根据两个垂直，消去参数t,确定.
试题解析：（1）由点在直线上，得，
故， ∴． 从而．                 2分
所以椭圆方程为．                            4分
（2）以为直径的圆的方程为．
即． 其圆心为,半径．    6分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离．
所以，解得．所求圆的方程为．  9分
（3）方法一：由平几知：，
直线，直线，
由得．
∴．
所以线段的长为定值．                                     13分
方法二：设，
则．
．
又．
所以，为定值．                             13分