题目内容

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）
【答案】分析：（1）该问题是一个判断性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n-m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．
（3）根据“和谐区间”的定义，我们还可以写出以下函数：y=a-x（a为常数），（k＞o为常数）满足有无数个“和谐区间”．
解答：解：（1）设[m，n]是函数的“和谐区间”，则在[m，n]上单调．
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
因此，在[m，n]上为增函数．
则f（m）=m，f（n）=n．即方程有两个解m，n
又可化为x2-3x+4=0，而x2-3x+4=0无实数解．
所以，函数不存在“和谐区间”
（2）因为在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是的两个同号的实数根
即方程a2x-（a2+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到
只要△=（a2+a）2-4a2＞0，解得a＞1或a＜-3
所以
其中a＞1或a＜-3，所以，当a=3时，n-m取最大值
（3）答案不唯一，如可写出以下函数：y=a-x（a为常数），（k＞0为常数）
点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强．
练习册系列答案
相关题目
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数y=g(x)=3-
5
x
不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函数为例）
对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
则存在“等值区间”的函数的个数是
2
2
．
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．
（2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是
③
③
．（写出所有满足要求的函数的序号）
对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
（Ⅲ）若函数g(x)=
x+4
+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网