Question

（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若

曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

Answer 1

（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且.

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若

曲线与D有公共点，试求实数m的最小值．

【解】（1）由离心率，得，即.    ① ………………2分

又点在椭圆上，即.     ② ………………4分

解 ①②得，

故所求椭圆方程为.          …………………6分

由得直线l的方程为. ………8分

（2）曲线，

即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线

上，半径为的动圆.                                 ………………… 10分

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.

设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分

当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，

解方程组得.                       ………………… 14分

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为， 

所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，

解得.                                      ………………… 16分

    （说明：若不说理由，直接由圆过点B时，求得m的最小值，扣4分）