题目内容
【题目】已知数列
，
，数列
满足
，n
．
（1）若
，
，求数列的前2n项和
；
（2）若数列为等差数列，且对任意n，
恒成立．
①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；
②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①见解析②数列
不能为等比数列，见解析
【解析】
（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；
（2）①设数列
的公差为
，数列的公差为
，当n为奇数时，得出
；当n为偶数时，得出
，从而可证数列，的公差相等；
②利用反证法，先假设可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列不能为等比数列．
（1）因为
，
，所以
，
且
，
由题意可知，数列
是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列
是首项和公比均为4的等比数列，
所以
；
（2）①证明：设数列的公差为，数列的公差为，
当n为奇数时，
，
若
，则当
时，
，
即
，与题意不符，所以，
当n为偶数时，
，
，
若
，则当
时，
，
即，与题意不符，所以，
综上，
，原命题得证；
②假设可以为等比数列，设公比为q，
因为
，所以
，所以
，
，
因为当
时，
，
所以当n为偶数，且
时，
，
即当n为偶数，且
时，
不成立，与题意矛盾，
所以数列不能为等比数列．
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