Question

【题目】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，，圆台的侧面积为.若点C，D分别为圆，上的动点且点C，D在平面的同侧.

（1）求证：；

（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由圆台侧面积求出上下底半径，计算圆台的高，计算，由直角三角形性质得；

（2）三棱锥的高就是，表示出三棱锥的体积，求出最大值时，，多面体分为三棱锥和四棱锥，分别计算体积后相加即得．

解：（1）设，的半径分别为，，

因为圆台的侧面积为，

所以，可得.

因此，在等腰梯形中，，，.

如图，连接线段，，，

在圆台中，平面，平面，

所以.

又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）由题意可知，三棱锥的体积为，

又在直角三角形中，，

所以当且仅当，

即点D为弧的中点时，有最大值.

过点C作交于点M，

因为平面，平面，

所以，平面，平面，，

所以平面.

又，则点C到平面的距离，

所以四棱锥的体积.

综上，当三棱锥体积最大值时，

多面体