Question

19．已知二次函数f（x）=x²-2x+a（a≠0）
（1）若a=-1，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）按照一元二次不等式的解法容易获解；
（2）结合二次函数的性质可知，开口向上，对称轴x=1，因此只需最小值f（1）大于等于0即可．

解答 解：（1）由题意得f（x）=x²-2x-1，令f（x）=0得$x=1±\sqrt{2}$．
所以f（x）＜0的解集为：{x|$1-\sqrt{2}＜x＜1+\sqrt{2}$}．
（2）由题意x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立．
因为函数f（x）开口向上，且对称轴x=1，所以当x∈（0，+∞）时，f（x）最小值为f（1）=a-1，
由题意只需a-1≥0即可，即a≥1．
故所求a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的基本思路，难度不大．