Question

15．关于函数$f（x）={2^{\frac{|x|}{{{x^2}+1}}}}$，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②f（x）在（-∞，0）上是增函数；③f（x）的最大值为1；④对任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的边长．其中正确的序号是①④．

Answer 1

分析 先确定函数的定义域，可判断f（-x）=f（x），举反例证明不是增函数，f（x）的最小值为2⁰=1，f（x）的最大值为$\sqrt{2}$．从而确定答案．

解答 解：函数$f（x）={2^{\frac{|x|}{{{x^2}+1}}}}$的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
①f（-x）=${2}^{\frac{|-x|}{{（-x）}^{2}+1}}$=${2}^{\frac{|x|}{{x}^{2}+1}}$=f（x），
故其图象关于y轴对称；
②f（-1）=${2}^{\frac{1}{2}}$，f（-$\frac{1}{2}$）=${2}^{\frac{2}{5}}$，
故f（-1）＞f（-$\frac{1}{2}$），
故f（x）在（-∞，0）上是增函数不成立；
③∵0≤$\frac{|x|}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值为${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故不成立；
④∵f（x）的最小值为2⁰=1，f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，
∴对任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做为某一三角形的边长；
故答案为：①④．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用．