Question

（2013•上海） 在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）²+y²=1（x≥1）和（x-3）²+y²=1（x≥3），两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π

1-y2

+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为

2π²+16π

．

Answer 1

分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．

解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4π

1-y2

+8π，该截面的截面积由两部分组成，
一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4π

1-y2

，看作是把一个半径为1，
高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，

这两个几何体与Ω放在一起，根据祖恒原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，
即Ω的体积为π•1²•2π+2•8π=2π²+16π．
故答案为2π²+16π．

点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．