Question

【题目】已知函数在其定义域内存在单调递减区间．

（1）求f(x)的单调递减区间；

（2）设函数，（e是自然对数的底数）．是否存在实数a，使g(x)在［a，－a］上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）时，在上为减函数．

【解析】

（1）求导函数，对a进行分类讨论，判断导数的符号即可判断单调区间。

（2）根据定义域，讨论当a取不同范围时，导数的符号；通过不等式恒成立即可求得a的范围。

（1）．由题意知．

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为．

（2）由区间知．设，．

（i）当时，，由题意得在上单调递减．

，

设，

即在区间上恒成立．

在上单调递增，故，解得．

∴．

（ii）当时，，由（1）知在上单调递减．

∴在上单调递减，即在区间上恒成立．

由前述可知，在上单调递减，在上单调递增，∴，

化简得，判别式小于0，恒成立．

另一方面，由，解得或．

∴．

综上，当时，在上为减函数．