Question

【题目】已知函数R.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 当a≤0，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当，在（0，2）和上单调递增，在（2，）递减；当a=，在（0，+∞）递增；当a＞，在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2) .

【解析】

（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又，取，可证明，有两个零点等价于，得，可证明，当时与当且时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.

（1）的定义域为，

，

（i）当时，恒成立，

时，在上单调递增；

时，在上单调递减.

（ii）当时，由得，（舍去），

①当，即时，恒成立，在上单调递增；

②当，即时，或，

恒成立，在上单调递增；

时，恒成立，在上单调递减.

③当，即时，或时，恒成立，

在单调递增，

时，恒成立，在上单调递减.

综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，单调递增区间为，无单调递减区间为；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）知当时，单调递增区间为，单调递减区间为，

又，取，令，

则在成立，故单调递增，

，

，

有两个零点等价于，得，

，

当时，，只有一个零点，不符合题意；

当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；

当且时，有两个极值，

，

记，

，

令，则，

当时，在单调递增；

当时，在单调递减，

故在单调递增，

时，，故，

又，

由（1）知，至多只有一个零点，不符合题意，

综上，实数的取值范围为.