Question

16．已知是一几何体的直观图和三视图如图．
（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（2）求此几何体BEC-APD的体积．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥AF，CD⊥DA，CD⊥PA，即可证明CD⊥面ADP，推出CD⊥AF．证明AF⊥面PCD．  
（2）几何体的体积转化为两个三棱锥的体积，求解即可．

解答 解：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，
∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF，又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，
∴CD⊥面ADP，∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．  
   
（2）易知PA⊥面ABCD，CB⊥面ABEP，故此几何体的体积为$V={V_{P-ACD}}+{V_{C-ABEP}}=\frac{1}{3}{S_{ACD}}×AP+\frac{1}{3}{S_{ABEP}}×CB$=$\frac{1}{3}×8×4+\frac{1}{3}×12×4=\frac{80}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．