Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于，连接，，则为的中点，可得，结合，得到四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理，可得平面；

（2）由平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，利用线面垂直的判定和性质求得，从而可求出和，利用等积法得，化简计算可求得点到平面的距离，从而得出点到平面的距离，即可得出结果．

解：（1）如图，连接，交于点，连接，，

则为的中点，

又∵为的中点，

∴，且.

又∵为的中点，

∴，且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）解：∵平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

∵三棱柱为直三棱柱，

则平面，平面，

，

又，，

则，

，且，

∴平面，即平面，

∵平面，∴，

∵，，

∴，，

连接和，则，

∵，

而到底面的距离等于到底面的距离为，

设到平面的距离为，

而为的中点，则到平面的距离为，

∴，∴，

∴点到平面的距离为，

即点到平面的距离为.