Question

【题目】已知函数.

（1）求f(x)的最大值；

（2）设函数，若对任意实数，当时，函数的最大值为，求a的取值范围；

（3）若数列的各项均为正数，，.求证：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）证明见解析

【解析】

（1）首先求函数的导数，并判断函数在定义域内的单调性，求得函数的最大值；

（2），先求函数的导数，当时，函数的最大值是，不满足条件，当时，令有，比较极值点大小，讨论单调性，求的取值范围；

（3），由（1）知：，即有不等式，由已知条件知，则，根据不等式的传递性得到证明.

（1）的定义域为，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

所以

（2）由题意

①当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.

②当时，令有，

(i)当时，函数在上单调递增，显然符合题意.

(ii)当，即时，函数再和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，

要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得又所以此时实数的取值范围是.

(iii)当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要对任意实数,当时，函数的最大值为，需代入化简得，①

令，

因为恒成立，

故恒有，所以时，①式恒成立，

综上，实数的取值范围是.

（3）由题意，正项数列满足：

由（1）知：，即有不等式

由已知条件知

故

从而当时，

所以有对也成立，

所以有