Question

在二项式（

1

2

+2x）ⁿ的展开式中，若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：由题意可得

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，求得n=7或n=14，分类讨论求得展开式中二项式系数最大的项．

解答： 解：∵二项式（

1

2

+2x）ⁿ的展开式中，若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，
∴

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，∴n=7或n=14，
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅，
且T4=

C

3 7

(

1

2

)4(2x)3=

35

2

x3，T5=

C

4 7

(

1

2

)3(2x)4=70x4．
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T₈，
且T8=

C

7 14

(

1

2

)7(2x)7=3432x7．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．