Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，是否存在实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）不存在.

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由..及，解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件的实质是垂直关系，即.所以．,
把代入椭圆C:中，整理得.整理得，矛盾．
（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为.
依题意 解得，，所以.
所以椭圆的标准方程是.                        .4分      
（Ⅱ）不存在实数，使，证明如下：
把代入椭圆C:中，整理得.
由于直线恒过椭圆内定点，所以判别式.
设，则,.
依题意，若，平方得.
即,
整理得，
所以,
整理得，矛盾．
所以不存在实数，使.          .14分