Question

10．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）设M（x，y）为曲线C上的任意一点，求x+y的取值范围；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程化直角坐标方程，利用x+y=x+$\frac{1}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}（x+2）^{2}$-1，即可得出结论；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）由ρcos²θ=4sinθ，得（ρcosθ）²=4ρsinθ，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得x²=4y，
∴曲线C的直角坐标方程为x²=4y，
∵M（x，y）为曲线C上的任意一点，
∴x+y=x+$\frac{1}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}（x+2）^{2}$-1≥-1，
∴x+y的取值范围是[-1，+∞）；
（2）将直线l的参数方程代入x²=4y，得t²cos²α-4tsinα-4=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{4}{co{s}^{2}α}$，当cos²α=1时，|AB|的最小值为4．

点评 本题考查极坐标方程化直角坐标方程，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是基础题．