Question

10．已知函数f（x）=x²log₄a，如果方程f（x-1）+2x=0无实根，则实数a的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 化简可知（x-1）²log₄a+2x=0没有实根，从而分类讨论，转化为y=（x-1）²与y=-$\frac{2}{lo{g}_{4}a}$x的图象没有交点，从而利用数形结合的方法求解．

解答 解：∵f（x）=x²log₄a，
∴方程f（x-1）+2x=0可化为（x-1）²log₄a+2x=0，
①若log₄a=0，即a=1时，方程有实根x=0；
②若log₄a≠0，则可化为（x-1）²=-$\frac{2}{lo{g}_{4}a}$x，
故只需使y=（x-1）²与y=-$\frac{2}{lo{g}_{4}a}$x的图象没有交点，
作y=（x-1）²与y=-$\frac{2}{lo{g}_{4}a}$x的图象如下，

当直线与y=（x-1）²相切时，设切点为（x，（x-1）²），则
2（x-1）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，解得，x=1或x=-1；
当x=-1时，2（x-1）=-4，当x=1时，2（x-1）=0；
故-4＜-$\frac{2}{lo{g}_{4}a}$＜0，
故log₄a$＞\frac{1}{2}$，
故a＞2．
综上所述，a＞2．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查了方程的解与函数的零点的关系应用及导数的综合应用．