Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都与$\overrightarrow{c}$垂直，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，又$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{v}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$，试求：
（1）|$\overrightarrow{u}$|，|$\overrightarrow{v}$|；
（2）∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）；
（3）向量$\overrightarrow{u}$在向量$\overrightarrow{v}$上的射影射影${\;}_{\overrightarrow{v}}$$\overrightarrow{u}$．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两个向量的数量积的定义求得可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，再根据|$\overrightarrow{u}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）}^{2}}$，|$\overrightarrow{v}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）}^{2}}$，计算求得结果．
（2）根据cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{v}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}{-\overrightarrow{c}}^{2}}{3×3}$，计算求得结果．
（3）射影${\;}_{\overrightarrow{v}}$$\overrightarrow{u}$=|$\overrightarrow{u}$|•cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$），计算求得结果．

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×2×cos60°=2，
∴|$\overrightarrow{u}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+5+0}$=3，|$\overrightarrow{v}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+5-0}$=3；
（2）cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{v}|}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{v}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}{-\overrightarrow{c}}^{2}}{3×3}$=$\frac{2-0+0-5}{9}$
=-$\frac{1}{3}$．
（3）射影${\;}_{\overrightarrow{v}}$$\overrightarrow{u}$=|$\overrightarrow{u}$|•cos∠（$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$）=3×（-$\frac{1}{3}$）=-1．

点评 本题主要考查两个向量的数量积得运算，用数量积表示两个向量的夹角，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．