Question

【题目】设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、.

（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.

（2）记直线与轴的交点为，在直线上，求点，使得.

Answer 1

【答案】（1）点在以为直径的圆内，证明见解析；（2）

【解析】

（1）设，，由在椭圆上可得且；由三点共线可得，表示出，可整理得到，从而可知为锐角，得到为钝角，从而得到在以为直径的圆内；

（2）设，，由三点共线得到；根据可知，从而构造出关于的方程，求得，进而得到，求得点坐标.

（1）点在以为直径的圆内．证明如下：

由已知可得，，设，，

在椭圆上，…①

又点异于顶点，

由三点共线可得：，即

，

…②

将①代入②化简可得：

为锐角，为钝角

在以为直径的圆内

（2）设，

由三点共线可得：，即

又等价于 ， ，

，解得：，