Question

【题目】已知函数f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)若函数h(x)＝在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）4

【解析】

（1）对求导，通过的正负，列表分析的单调性进而求得极值.

（2）先求得的解析式，对其求导，原题转化为导函数在上恒成立，令，求得a的范围.（3）由题意知在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，对求导分析可得在和上各有一个实根，从而得到极大值，将视为关于的函数，求导得到，又因为，得到整数b的最小值.

（1），，令，解得，列表：

		2
	+	0	-
		极大值

∴当时，函数取得极大值，无极小值

（2）由，得

∵，令，

∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立

∴，解得．

（3），

令，

∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，

即在上有两个不等实根．

∵

∴当时，，单调递增，当时，，单调递减

则，∴，解得，∴

∵在上连续且，

∴在和上各有一个实根

∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．

∴，且

，

令，，当时，，单调递减

∵，∴，即，则

∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为4．