题目内容

在△ABC中，若有一点O满足OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2，则O点是△ABC的
 
心．
考点：三角形五心
专题：解三角形
分析：由
OA
2+
BC
2=
OB
2+
CA
2，得
OA
2-
OB
2=
CA
2-
BC
2，从而得到
BA
（（
OA
+
OB
-
CA
-
BC
）=0，进而得到
BA
⊥
OC
．同理
OA
⊥
BC
，
OB
⊥
AC
，所以O为△ABC的垂心．
解答： 解：∵
OA
2+
BC
2=
OB
2+
CA
2，
∴
OA
2-
OB
2=
CA
2-
BC
2，
∴（
OA
+
OB
）（
OA
-
OB
）=（
CA
+
BC
）（
CA
-
BC
），
（
OA
+
OB
）•
BA
=
BA
•（
CA
+
BC
），
•
BA
（（
OA
+
OB
-
CA
-
BC
）=0
∴
BA
•（2
OC
）=0
即
BA
•
OC
=0，
∵
BA
，
OC
不为0
∴
BA
⊥
OC
．
同理
OA
⊥
BC
，
OB
⊥
AC
，
∴O为△ABC的垂心．
故答案为：垂．
点评：本题考查三角形的垂心的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的灵活运用．
练习册系列答案
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.
1-1
13x
.
，则f-1（4）
 
．
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1
2
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y≤x+1
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x
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C、
9
2
D、
27
4
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A、-1B、0C、1D、2

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