Question

如图，设、分别是圆和椭圆的弦，且弦的端点在轴的异侧，端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.

（Ⅰ）若弦所在直线斜率为，且弦的中点的横坐标为，求直线的方程；
（Ⅱ）若弦过定点，试探究弦是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦必过定点.

试题分析：（Ⅰ）由题意得：直线的方程为
，，设
，将代入检验符合题意，
故满足题意的直线方程为：
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆的方程为：分
设、、、，
∵点在圆上，    ∴，………①
∵点在椭圆上，  ∴，………②
联立方程①②解得：，同理解得： 
∴、    ∵弦过定点，
∴且，即，
化简得 
直线的方程为：，即，
由得直线的方程为：，
∴弦必过定点.
解法二：由（Ⅰ）得：圆的方程为：
设、，
∵圆上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆，
又端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴、 
由弦过定点，猜想弦过定点. 
∵弦过定点，∴且，即……① ,,
由①得，
∴弦必过定点.
点评：本题以直线、圆、椭圆为载体，综合考查推理论证能力、数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．